引言: 在物理计算的时候我们经常会遇上相对性计算这个问题，很多人之前对于这个问题思考的较少。恰好最近对于相关的计算遇上的比较多，故留了一篇笔记用于整理这方面的内容。本内容只浅浅整理了解，没有往更深处讨论
1. 定义与核心思想
相对化计算是一种重要的数据处理和分析方法，其核心思想是将一个绝对量与其相关的参照量（基准或背景值） 进行比较，从而得到一个具有相对意义的值。
这种计算的目的通常不是关注数值本身的大小，而是关注：
- 变化的幅度或比例：相对于初始状态或某个基准的变化程度。
- 结构或占比：某个部分相对于整体的大小。
- 相对位置或表现：某个体在群体中的位置或与平均水平/特定标准的比较。
相对化计算使得不同尺度、不同背景下的数据具有了可比性，并能更深刻地揭示数据背后的关系、趋势和意义。
2. 主要的相对化计算类型
根据比较方式的不同，常见的相对化计算可以分为以下几类：
2.1 基于差值的相对量 (Absolute Change as a Relative Concept)
虽然计算的是绝对差值，但其意义在于描述相对于“初值”的绝对变化。
- 公式:
绝对变化量 = 末值 - 初值
- 含义: 表示数值从初始状态到最终状态的净增减量。
- 应用:
- 计算利润增减额（销售额 - 成本）
- 温度变化（末温 - 初温）
- 位移（末位置 - 初位置）
- 特点: 保留了原始单位，直观显示绝对数值的变化。但无法直接比较不同基数的变化幅度。
- 运算：
- 中文描述：U_末=U_{末相对初}+U_初(实际上:U_{末0}=U_{末相对初}+U_{初0})|U_{初}=-U_{末相对初}+U_{末}
- 下标描述：U_b=U_{ab}+U_a(实际上:U_{b0}=U_{ba}+U_{a0})|U_a=-U_{ba}+U_b
- 记忆: 把U_{ba}记忆成U_{b-a}方便快速的进行初末量运算，把下标中的 - 记忆成减号就很快的计算U_b=-U_a+U_{ba}=U_a+U_{b-a}=-U_a+(U_b-U_a)。U_a或者U_b都不需要变动符号，只需要看空间变化的方向来决定是否为U_{ba}加入负号
title:为什么从末空间转化到初空间是用加法，而从初空间转化到末空间是用减法？
核心关系：
1. [imath:0]U_{末} = U_{初} + U_{末相对初}[/imath:0] (下标: [imath:0]U_b = U_a + U_{ab}[/imath:0])
2. [imath:0]U_{初} = U_{末} - U_{末相对初}[/imath:0] (下标: [imath:0]U_a = U_b - U_{ab}[/imath:0])
**核心在于理解相对量 [imath:0]U_{末相对初}[/imath:0] (或 [imath:0]U_{ab}[/imath:0]) 的定义和方向：**
* **从第一个公式看定义:** 公式 [imath:0]U_b = U_a + U_{ab}[/imath:0] 是最基础的定义式。它告诉我们，**末态 ([imath:0]U_b[/imath:0]) 等于初态 ([imath:0]U_a[/imath:0]) 加上一个相对量 ([imath:0]U_{ab}[/imath:0])**。
* **[imath:0]U_{ab}[/imath:0] 的含义:** 这就自然地定义了 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 为 [imath:0]U_b - U_a[/imath:0]。 也就是说，[imath:0]U_{ab}[/imath:0] (即 [imath:0]U_{末相对初}[/imath:0]) 代表了从 **状态 [imath:0]a[/imath:0] (初)** 变到 **状态 [imath:0]b[/imath:0] (末)** 所需要的**变化量**。我们可以把它想象成一个从点 [imath:0]a[/imath:0] 指向点 [imath:0]b[/imath:0] 的向量或位移。
**现在解释转换方向与加减法的关系：**
1. **从初空间转化到末空间 ([imath:0]a \rightarrow b[/imath:0]，求 [imath:0]U_b[/imath:0])**:
* 我们已知起点 [imath:0]U_a[/imath:0] (初态) 和代表“从 [imath:0]a[/imath:0] 到 [imath:0]b[/imath:0] 的变化”的量 [imath:0]U_{ab}[/imath:0]。
* 要从 [imath:0]U_a[/imath:0] 到达 [imath:0]U_b[/imath:0]，我们正好需要加上这个变化量 [imath:0]U_{ab}[/imath:0]。
* 因此，使用**加法**: [imath:0]U_b = U_a + U_{ab}[/imath:0]。因为转换方向 ([imath:0]a \rightarrow b[/imath:0]) 与 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 所代表的方向 (从 [imath:0]a[/imath:0] 指向 [imath:0]b[/imath:0]) **一致**。
2. **从末空间转化到初空间 ([imath:0]b \rightarrow a[/imath:0]，求 [imath:0]U_a[/imath:0])**:
* 我们已知起点 [imath:0]U_b[/imath:0] (末态) 和代表“从 [imath:0]a[/imath:0] 到 [imath:0]b[/imath:0] 的变化”的量 [imath:0]U_{ab}[/imath:0]。
* 要从 [imath:0]U_b[/imath:0] 到达 [imath:0]U_a[/imath:0]，我们需要进行的移动是 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 这个变化量的**反方向**。从 [imath:0]b[/imath:0] 到 [imath:0]a[/imath:0] 的变化是 [imath:0]-U_{ab}[/imath:0]。
* 因此，使用**减法**: [imath:0]U_a = U_b - U_{ab}[/imath:0]。因为转换方向 ([imath:0]b \rightarrow a[/imath:0]) 与 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 所代表的方向 (从 [imath:0]a[/imath:0] 指向 [imath:0]b[/imath:0]) **相反**。
**抽象总结：**
在一个基于差值的相对量体系中（如 [imath:0]U_{ab} = U_b - U_a[/imath:0]）：
* 当你进行的**转换方向**与你定义的**相对量所代表的方向一致**时（例如，从 [imath:0]a[/imath:0] 到 [imath:0]b[/imath:0]，而 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 代表 [imath:0]a[/imath:0] 到 [imath:0]b[/imath:0] 的变化），你使用**加法**。
* 当你进行的**转换方向**与你定义的**相对量所代表的方向相反**时（例如，从 [imath:0]b[/imath:0] 到 [imath:0]a[/imath:0]，而 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 代表 [imath:0]a[/imath:0] 到 [imath:0]b[/imath:0] 的变化），你使用**减法**（即加上负的相对量 [imath:0]-U_{ab}[/imath:0]）。
加减法的选择本质上是由**参照系**（哪个是初，哪个是末）和**相对量定义的方向**共同决定的。
**关于您笔记中的记忆方法：**
* 把 [imath:0]U_{ba}[/imath:0] 记忆成 [imath:0]U_{b-a}[/imath:0] 可能会引起混淆，因为 [imath:0]U_{ba}[/imath:0] 实际上代表的是 [imath:0]U_b - U_a[/imath:0]，而不是 [imath:0]U_b[/imath:0] 减去某个其他的量。
* 更清晰的记忆方式是始终记住 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 代表从状态 [imath:0]a[/imath:0] 到状态 [imath:0]b[/imath:0] 的变化，然后根据转换方向选择加法或减法。
title:如何理解一切的绝对都是相对？
1. **绝对变化量需要参照“初值”：** 2.1节明确指出，虽然计算的是绝对差值（末值 - 初值），但其意义在于描述相对于“初值”的绝对变化。这意味着，这个差值本身并没有绝对的意义，只有结合初始状态，才能理解变化的幅度。
2. **例子说明：**
- **利润增减额：** 利润增减额（销售额 - 成本）是一个绝对数值，但它反映了相对于成本的销售额变化。如果成本很高，即使利润增减额很大，实际盈利能力可能仍然有限。
- **温度变化：** 温度变化（末温 - 初温）也是一个绝对数值，但它反映了相对于初始温度的变化。从-10℃到0℃的变化，和从30℃到40℃的变化，虽然都是10℃的绝对变化，但给人的感受和实际影响是不同的。
- **位移：** 位移（末位置 - 初位置）表示物体位置的绝对变化，但这个变化的意义取决于初始位置。例如，从A点移动10米，和从B点移动10米，最终的位置是不同的。
3. **无法直接比较不同基数的变化幅度：** 2.1节的“特点”部分指出，基于差值的相对量保留了原始单位，直观显示绝对数值的变化，但无法直接比较不同基数的变化幅度。这意味着，即使两个事物具有相同的绝对变化量，它们的相对变化程度也可能大相径庭。
因此，从2.1节的角度来看，“一切的绝对都是相对”意味着：
- 即使是绝对的差值，也需要放在一个特定的参照系（即“初值”）中才能被理解。
- 脱离了参照系，绝对的差值本身可能不具有实际意义。
- 通过比较不同事物的绝对变化量与它们的初始状态，我们可以更准确地评估它们的变化程度。
总而言之，2.1节通过强调绝对变化量相对于“初值”的重要性，阐释了“一切的绝对都是相对”这一思想。
title:电路分析中一般是用初始电位减去末尾电位，与我在本笔记中的总结的结论相违背？
你观察到的现象确实存在，这涉及到电路分析中电位参考方向的选取。这与[[相对化计算]]笔记中总结的公式看似矛盾，但实际上可以通过仔细分析相对量的定义来调和。
**问题分析：**
在电路分析中，我们通常关心的是电位差，也就是电压。电压的定义是电场力将单位正电荷从A点移动到B点所做的功。因此，电压具有方向性。
* **情况1：** 如果我们定义 [imath:0]V_{AB}[/imath:0] 为A点相对于B点的电位差，那么 [imath:0]V_{AB} = V_A - V_B[/imath:0]。这意味着，我们站在B点观察A点的电位，或者说，A点的电位比B点高多少。
* **情况2：** 如果我们定义 [imath:0]V_{BA}[/imath:0] 为B点相对于A点的电位差，那么 [imath:0]V_{BA} = V_B - V_A[/imath:0]。这意味着，我们站在A点观察B点的电位，或者说，B点的电位比A点高多少。
可以看到，[imath:0]V_{AB} = -V_{BA}[/imath:0]。根据定义一般写作[imath:0]V_{BA}[/imath:0]才不会让人混淆，但是很多老师都习惯写成[imath:0]V_{AB}[/imath:0]，这是不严谨的写法！！
**与[[相对化计算]]笔记的联系：**
在[[相对化计算]]笔记中，我们定义 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 为从状态 [imath:0]a[/imath:0] (初) 变到状态 [imath:0]b[/imath:0] (末) 所需要的变化量，即 [imath:0]U_{ab} = U_b - U_a[/imath:0]。
现在，我们将这个概念应用到电路的电位分析中。假设A点是初态，B点是末态。
* 如果我们关心的是从A点到B点的电位变化，那么这个变化量应该是 [imath:0]V_B - V_A[/imath:0]，这与[[相对化计算]]笔记中的定义是一致的。
* 但是，在电路分析中，我们经常关心的是A点相对于B点的电位，也就是 [imath:0]V_A - V_B[/imath:0]。这实际上是 [imath:0]- (V_B - V_A)[/imath:0]。
**解释：**
之所以在电路分析中经常使用“初态电位 - 末态电位”，是因为：
1. **参考方向：** 在电路分析中，我们经常会预先定义一个电流的参考方向。电压的方向通常与电流的参考方向相关联。如果我们定义的参考方向是从A到B，那么我们关心的就是A点相对于B点的电位，也就是 [imath:0]V_A - V_B[/imath:0]。
2. **电位降：** 在分析电路时，我们经常会说某个元件上的“电位降”是多少。电位降指的是沿着电流方向，电位降低的量。如果电流从A流向B，那么A点的电位高于B点，所以电位降是 [imath:0]V_A - V_B[/imath:0]。
3. **能量角度：** 从能量的角度来看，如果一个正电荷从A点移动到B点，电位降低了，那么电场力就做了正功，电势能减少了。电势能的减少量与 [imath:0]V_A - V_B[/imath:0] 成正比。
**总结：**
电路分析中使用“初态电位 - 末态电位”与[[相对化计算]]笔记中的公式并不矛盾。关键在于理解：
* [[相对化计算]]笔记中的 [imath:0]U_{ab}[/imath:0] 代表从状态 [imath:0]a[/imath:0] 到状态 [imath:0]b[/imath:0] 的变化量。
* 电路分析中使用的 [imath:0]V_A - V_B[/imath:0] 代表A点相对于B点的电位，或者说是沿着电流方向的电位降。
如果你想在电路分析中完全使用[[相对化计算]]笔记中的公式，你需要明确定义你的参考方向，并始终保持一致。例如，如果你定义 [imath:0]V_{AB} = V_B - V_A[/imath:0]，那么在所有计算中都要使用这个定义。
总而言之，电路分析中的习惯用法是基于特定的参考方向和物理意义（电位降、能量变化）而形成的。只要理解了这些背景知识，就可以将电路分析与[[相对化计算]]笔记中的概念统一起来。
2.2 基于比率的相对量 (Ratio-based Relative Quantities)
这是更典型的相对化计算，通过除法来建立相对关系。
类型 1: 比率/倍数 (Ratio/Multiple)
- 公式:
比率 = 末值 / 初值 (或 值A / 值B)
- 含义: 表示一个量是另一个量的多少倍，或者两个量之间的比例关系。
- 应用:
- 市盈率 (P/E Ratio = 股价 / 每股收益)
- 资产负债率 (总负债 / 总资产)
- 效率比 (产出 / 投入)
- 地图比例尺
- 特点: 无单位（或单位相除），直接反映倍数关系或结构比例。
类型 2: 相对变化率 (Relative Change Rate / Percentage Change)
- 公式:
相对变化率 = (末值 - 初值) / 初值 或 (末值 / 初值) - 1
- 含义: 表示数值相对于初始状态变化的幅度，通常以百分比表示。这是衡量增长或减少速度最常用的指标。
- 应用:
- GDP增长率
- 股价涨跌幅
- 销售额增长率
- 通货膨胀率
- 特点: 无单位（通常表示为%），消除了基数大小的影响，便于比较不同事物的增长快慢。
类型 3: 占比/构成比 (Proportion/Composition Ratio)
- 公式:
占比 = 部分值 / 整体值
- 含义: 表示某个部分在整体中所占的相对份额。
- 应用:
- 市场份额 (公司销售额 / 市场总销售额)
- 不同成本项目占总成本的百分比
- 各类资产占总资产的比例
- 特点: 无单位（通常表示为%），总和为1或100%，反映内部结构。
2.3 基于标准差的相对量 (Standard Deviation-based Relative Quantities)
这类计算将数值与其所在数据集的平均值和离散程度（标准差）进行比较。
- 公式 (示例: Z-score):
Z = (数值 - 平均值) / 标准差
- 含义: 表示一个数值偏离其数据集平均值的相对距离（以标准差为单位）。
- 应用:
- 统计学中的数据标准化
- 异常值检测
- 比较不同分布下的数据点相对位置
- 特点: 无单位，将不同分布的数据转换到统一的标准正态分布上进行比较。
3. 相对化计算的意义与作用
- 消除量纲和尺度影响: 使不同单位、不同数量级的数据可以直接比较（如增长率、比率）。
- 提供背景和可比性: 单独看一个绝对值可能意义不大，相对值提供了比较的基准，增强了信息的可解释性。
- 揭示趋势和变化: 增长率等指标能清晰地显示事物随时间的变化速度和方向。
- 标准化数据: Z-score等方法可以将数据转换到统一的标准下，便于后续分析和建模。
- 结构分析: 构成比等指标有助于理解事物的内部组成。
4. 应用领域
相对化计算广泛应用于几乎所有需要数据分析的领域：
- 经济学与金融: 增长率、通胀率、利率、财务比率、投资回报率等。
- 物理学: 相对速度、相对误差、效率等。
- 统计学: 相对频率、标准化得分、各种指数等。
- 工程学: 效率、误差百分比、信噪比等。
- 社会科学: 人口增长率、市场份额、民意调查百分比等。
- 日常生活中: 折扣（相对原价）、油耗（相对里程）、考试排名（相对全体考生）等。
5. 注意事项
- 基准（分母）的选择至关重要: 不同的基准会导致完全不同的相对值和解读。
- 避免零或负基准: 在计算比率或相对变化率时，分母为零无意义，分母为负可能导致结果难以解释。
- 小心“百分比陷阱”: 绝对值很小的基数上产生的高百分比增长，其绝对增量可能并不大。