帖子字数有限只发布一部分，后续等工具完善后在发工具给大家
College Mathematics Guidance Series
大学数学学习辅导丛书
高等数学 习题全解指南 上册
同济·第七版同济大学数学系 编
高等教育出版社 M
高等数学 习题全解指南
上册同济·第七版
同济大学数学系 编
" ollege Mathematics Quidance Series 大学数学学习辅导丛书
<!-- Media -->
<img src="https://cdn.noedgeai.com/01940c56-10ad-7326-92af-ec794cfa19d8_1.jpg?x=0&y=1314&w=1596&h=866&r=0"/>
<!-- Media -->
内容提要
本书是与同济大学数学系编写的《高等数学》(第七版) 相配套的学习辅导书, 由同济大学数学系的教师编写。本书内容由三部分组成, 第一部分是按《高等数学》(第七版)(上册)的章节顺序编排,给出习题全解, 部分题目在解答之后对该类题的解法作了小结、归纳, 有的提供了多种解法; 第二部分是全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解, 所选择的试题以工学类为主,少量涉及经济学类试题; 第三部分是同济大学高等数学试卷选编以及考题的参考解答。
本书对教材具有相对的独立性, 可为学习高等数学的工科和其他非数学类专业学生以及复习高等数学准备报考硕士研究生的人员提供解题指导,也可供讲授高等数学的教师在备课和批改作业时参考。
图书在版编目 (C I P) 数据
高等数学习题全解指南: 同济第 7 版. 上册/同济大学数学系编. --> 北京：高等教育出版社,2014. 7
ISBN 978 -7 -04 -039691 -1
I. ①高... II. ①同... III. ①高等数学-高等学校- 题解 IV. ①013-44
中国版本图书馆 CIP 数据核字(2014) 第 095897 号
策划编辑 王 强 责任编辑 于丽娜 特约编辑 张让让 封面设计 王凌波
版式设计 于 婕 插图绘制 杜晓丹 责任校对 刘丽娴 责任印制 朱学忠
出版发行 高等教育出版社 咨询电话 400-810-0598 社 址 北京市西城区德外大街 4 号 网 址 http://www.hep.edu.cn 邮政编码 100120 http://www.hep.com.cn 印 刷 高教社 (天津) 印务有限公司 网上订购 http://www.landraco.com 开本 ( {787}\mathrm{\;{mm}} \times {960}\mathrm{\;{mm}}1/{16} ) http://www.landraco.com.cn
印张 25.25 版次 2014 年 7 月第 1 版字数 460 千字 印次 2014 年 7 月第 1 次印刷
购书热线 010-58581118 定价 36.70 元
本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换
版权所有 侵权必究
物 料 号 39691-00
前言
由同济大学数学系编写的《高等数学》(第七版) 已作为“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材于 2014 年正式出版。本书是《高等数学》(第七版)的配套用书,主要是为学习高等数学的大学生以及复习高等数学准备报考硕士研究生的人员提供一本解题指导的参考书,也可供讲授高等数学的教师在备课和批改作业时参考。
本书内容由三部分组成,第一部分是《高等数学》(第七版)的习题全解,包括各章的习题与总习题及解答。在解答中,有的题在解答之后,以注释的形式对该类题的解法作了归纳小结, 有的题提供了常用的具有典型意义的多种解法。 第二部分是全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解,包括函数、极限、连续, 一元函数微分学,一元函数积分学,微分方程,空间解析几何与向量代数,多元函数微分学,多元函数积分学,无穷级数等八项内容,每项选编的题量在 30 题左右,其中不乏近几年入学统一考试的试题。在每道试题的前面都注明了试题的年份及类别,如(2010. I)表示为 2010 年第一类考题。所选择的试题以工科类为主,少量涉及经济学类试题,每道试题都给出了解题的思路与方法,有的还给出了多种解法,以供读者参考。第三部分是同济大学高等数学试卷选编,这部分已作了全部更新,按上、下册内容,选了期中、期末各两套试卷,并提供了试题的参考解答。
本书由同济大学数学系的教师编写,其中第一部分第一、九章,第二部分 (一)、(二)、(六)由邱伯驺完成；第一部分第二、三、八章由徐建平完成；第一部分第四、五、六章,第二部分(三)由朱晓平完成；第一部分第七、十二章,第二部分(四)、(八)由应明完成；第一部分第十、十一章,第二部分(五)、(七)由郭镜明完成；第三部分由朱晓平完成。
在使用本书时,建议读者在个人学习、练习的基础上,再加以参考、对照,找出自己在知识掌握方面的不足,学习分析、解题的方法和思路,学会举一反三,采取这种方式参考本书,必能从中获益。本书中存在的问题,欢迎广大专家、同仁和读者批评指正。
编 者
二〇一四年六月
目录
《高等数学》(第七版)上册习题全解
第一章 函数与极限 3
习题 1-1 映射与函数 3
习题 1-2 数列的极限 12
习题 1-3 函数的极限 16
习题 1-4 无穷小与无穷大 20
习题 1-5 极限运算法则 23
习题 1-6 极限存在准则 两个重要极限 27
习题 1-7 无穷小的比较 29
习题 1-8 函数的连续性与间断点 31
习题 1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性 35
习题 1-10 闭区间上连续函数的性质 39
总习题一 41
第二章 导数与微分 49
习题 2-1 导数概念 49
习题 2-2 函数的求导法则 55
习题 2-3 高阶导数 62
习题 2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 67
习题 2-5 函数的微分 74
总习题二 79
第三章 微分中值定理与导数的应用 87
习题 3-1 微分中值定理 87
习题 3-2 洛必达法则 91
习题 3-3 泰勒公式 95
习题 3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性 99
习题 3-5 函数的极值与最大值最小值 109 习题 3-6 函数图形的描绘 118 习题 3-7 曲率 123 习题 3-8 方程的近似解 126
总习题三 129
第四章 不定积分 139
习题 4-1 不定积分的概念与性质 139
习题 4-2 换元积分法 144
习题 4-3 分部积分法 151
习题 4-4 有理函数的积分 156
习题 4-5 积分表的使用 161
总习题四 166
第五章 定积分 178
习题 5-1 定积分的概念与性质 178
习题 5-2 微积分基本公式 184
习题 5-3 定积分的换元法和分部积分法 190
习题 5-4 反常积分 198
( {}^{ * } ) 习题 5-5 反常积分的审敛法 ( \Gamma ) 函数 200
总习题五 203
第六章 定积分的应用 216
习题 6-2 定积分在几何学上的应用 216
习题 6-3 定积分在物理学上的应用 229
总习题六 233
第七章 微分方程 242
习题 7-1 微分方程的基本概念 242
习题 7-2 可分离变量的微分方程 245
习题 7-3 齐次方程 251
习题 7-4 一阶线性微分方程 258
习题 7-5 可降阶的高阶微分方程 266
习题 7-6 高阶线性微分方程 273
习题 7-7 常系数齐次线性微分方程 279
习题 7-8 常系数非齐次线性微分方程 284
总习题七 306
全国硕士研究生入学统一考试数学试题选解
(一) 函数 极限 连续 323
(二) 一元函数微分学 334
(三)一元函数积分学 350
(四) 微分方程 362
同济大学高等数学试卷选编
(一)高等数学(上)期中考试试卷(I) 379
试题 379
参考答案 380
(二) 高等数学 (上) 期中考试试卷 (II) 383
试题 383
参考答案 384
(三)高等数学(上)期末考试试卷(I) 387
试题 387
参考答案 388
(四)高等数学(上)期末考试试卷(II) 391
试题 391
参考答案 392
一、《高等数学》(第七版)上册 习题全解
第一章
函数与极限
习题 1-1
- 1. 求下列函数的自然定义域：
(1) ( y = \sqrt{{3x} + 2} ) ; (2) ( y = \frac{1}{1 - {x}^{2}} ) ;
(3) ( y = \frac{1}{x}\sqrt{1 - {x}^{2}} ) ; (4) ( y = \frac{1}{\sqrt{4 - {x}^{2}}} ) ;
(5) ( y = \sin \sqrt{x} ) ; (6) ( y = \tan \left( {x + 1}\right) ) ;
(7) ( y = \arcsin \left( {x - 3}\right) ) ; (8) ( y = \sqrt{3 - x} + \arctan \frac{1}{x} ) ;
(9) ( y = \ln \left( {x + 1}\right) ) ; (10) ( y = {\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}} ) .
解 (1) ( {3x} + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq - \frac{2}{3} ) ,即定义域为 ( \left\lbrack {-\frac{2}{3}, + \infty }\right) ) .
(2) ( 1 - {x}^{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 ) ,即定义域为 ( \left( {-\infty , - 1}\right) \cup \left( {-1,1}\right) \cup \left( {1, + \infty }\right) ) .
(3) ( x \neq 0 ) 且 ( 1 - {x}^{2} \geq 0 \Rightarrow x \neq 0 ) 且 ( \left| x\right| \leq 1 ) ,即定义域为 ( \left\lbrack {-1,0)\cup (0,1}\right\rbrack ) .
(4) ( 4 - {x}^{2} > 0 \Rightarrow \left| x\right| < 2 ) ,即定义域为(-2,2).
(5) ( x \geq 0 ) ,即定义域为 ( \lbrack 0, + \infty ) ) .
(6) ( x + 1 \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) ) ,即定义域为 ( \left{ {x\left| {\;x \in \mathbf{R}\text{ 且 }x \neq \left( {k + \frac{1}{2}}\right) \pi - 1}\right. ,k \in \mathbf{Z}}\right} ) .
(7) ( \left| {x - 3}\right| \leq 1 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4 ) ,即定义域为 ( \left\lbrack {2,4}\right\rbrack ) .
(8) ( 3 - x \geq 0 ) 且 ( x \neq 0 ) ,即定义域为 ( \left( {-\infty ,0}\right) \cup (0,3\rbrack ) .
(9) ( x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1 ) ,即定义域为 ( \left( {-1, + \infty }\right) ) .
( 10 ) ( x \neq 0 ) ,即定义域为 ( \left( {-\infty ,0}\right) \cup \left( {0, + \infty }\right) ) .
注 本题是求函数的自然定义域, 一般方法是先写出构成所求函数的各个简单函数的定义域, 再求出这些定义域的交集, 即得所求定义域. 下列简单函数及其定义域是经常用到的:
[y = \frac{Q\left( x\right) }{P\left( x\right) },P\left( x\right) \neq 0;]
[y = \sqrt[{2n}]{x},x \geq 0;]
[y = {\log }_{a}x,x > 0;]
( y = \tan x,x \neq \left( {k + \frac{1}{2}}\right) \pi ,k \in \mathbf{Z}; )
( y = \cot x,x \neq {k\pi },k \in \mathbf{Z}; )
( y = \arcsin x,\left| x\right| \leq 1 ) ;
( y = \arccos x,\left| x\right| \leq 1 ) .
- 下列各题中,函数 ( f\left( x\right) ) 和 ( g\left( x\right) ) 是否相同? 为什么?
(1) ( f\left( x\right) = \lg {x}^{2},g\left( x\right) = 2\lg x ) ;
(2) ( f\left( x\right) = x,g\left( x\right) = \sqrt{{x}^{2}} ) ;
(3) ( f\left( x\right) = \sqrt[3]{{x}^{4} - {x}^{3}},g\left( x\right) = x\sqrt[3]{x - 1} ) ;
(4) ( f\left( x\right) = 1,g\left( x\right) = {\sec }^{2}x - {\tan }^{2}x ) .
解 (1) 不同, 因为定义域不同.
(2)不同,因为对应法则不同, ( g\left( x\right) = \sqrt{{x}^{2}} = \left{ \begin{array}{rr} x, & x \geq 0, \ - x, & x < 0. \end{array}\right. )
(3)相同,因为定义域、对应法则均相同.
(4)不同,因为定义域不同.
- 设
[\varphi \left( x\right) = \left{ \begin{array}{ll} \left| {\sin x}\right| , & \left| x\right| < \frac{\pi }{3}, \ 0, & \left| x\right| \geq \frac{\pi }{3}, \end{array}\right. ]
求 ( \varphi \left( \frac{\pi }{6}\right) ,\varphi \left( \frac{\pi }{4}\right) ,\varphi \left( {-\frac{\pi }{4}}\right) ,\varphi \left( {-2}\right) ) ,并作出函数 ( y = \varphi \left( x\right) ) 的图形.
解
[\varphi \left( \frac{\pi }{6}\right) = \left| {\sin \frac{\pi }{6}}\right| = \frac{1}{2},\varphi \left( \frac{\pi }{4}\right) = \left| {\sin \frac{\pi }{4}}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2},]
[\varphi \left( {-\frac{\pi }{4}}\right) = \left| {\sin \left( {-\frac{\pi }{4}}\right) }\right| = \frac{\sqrt{2}}{2},\varphi \left( {-2}\right) = 0.]
( y = \varphi \left( x\right) ) 的图形如图 1-1 所示.
<!-- Media -->
<img src="https://cdn.noedgeai.com/01940c56-10ad-7326-92af-ec794cfa19d8_10.jpg?x=496&y=1712&w=441&h=265&r=0"/>
图 1-1
<!-- Media -->
- 试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1) ( y = \frac{x}{1 - x},\left( {-\infty ,1}\right) ) ;
(2) ( y = x + \ln x,\left( {0, + \infty }\right) ) .
证 ( \left( 1\right) y = f\left( x\right) = \frac{x}{1 - x} = - 1 + \frac{1}{1 - x},\left( {-\infty ,1}\right) ) .
设 ( {x}{1} < {x}{2} < 1 ) . 因为
[f\left( {x}{2}\right) - f\left( {x}{1}\right) = \frac{1}{1 - {x}{2}} - \frac{1}{1 - {x}{1}} = \frac{{x}{2} - {x}{1}}{\left( {1 - {x}{1}}\right) \left( {1 - {x}{2}}\right) } > 0,]
所以 ( f\left( {x}{2}\right) > f\left( {x}{1}\right) ) ,即 ( f\left( x\right) ) 在 ( \left( {-\infty ,1}\right) ) 内单调增加.
(2) ( y = f\left( x\right) = x + \ln x,\left( {0, + \infty }\right) ) .
设 ( 0 < {x}{1} < {x}{2} ) . 因为
[f\left( {x}{2}\right) - f\left( {x}{1}\right) = {x}{2} + \ln {x}{2} - {x}{1} - \ln {x}{1} = {x}{2} - {x}{1} + \ln \frac{{x}{2}}{{x}{1}} > 0,]
所以 ( f\left( {x}{2}\right) > f\left( {x}{1}\right) ) ,即 ( f\left( x\right) ) 在 ( \left( {0, + \infty }\right) ) 内单调增加.
- 设 ( f\left( x\right) ) 为定义在(-l,l)内的奇函数,若 ( f\left( x\right) ) 在(0,l)内单调增加,证明 ( f\left( x\right) ) 在 (-l,0)内也单调增加.
证 设 ( - l < {x}{1} < {x}{2} < 0 ) ,则 ( 0 < - {x}{2} < - {x}{1} < l ) ,由 ( f\left( x\right) ) 是奇函数,得 ( f\left( {x}{2}\right) - f\left( {x}{1}\right) = ) ( - f\left( {-{x}{2}}\right) + f\left( {-{x}{1}}\right) ) . 因为 ( f\left( x\right) ) 在(0,l)内单调增加,所以 ( f\left( {-{x}{1}}\right) - f\left( {-{x}{2}}\right) > 0 ) ,从而 ( f\left( {x}{2}\right) > f\left( {x}{1}\right) ) ,即 ( f\left( x\right) ) 在(-l,0)内也单调增加.
- 设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l,l)上的. 证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数；
(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
证 (1) 设 ( {f}{1}\left( x\right) ,{f}{2}\left( x\right) ) 均为偶函数,则 ( {f}{1}\left( {-x}\right) = {f}{1}\left( x\right) ,{f}{2}\left( {-x}\right) = {f}{2}\left( x\right) ) . 令 ( F\left( x\right) = {f}{1}\left( x\right) + {f}{2}\left( x\right) ) ,于是
[F\left( {-x}\right) = {f}{1}\left( {-x}\right) + {f}{2}\left( {-x}\right) = {f}{1}\left( x\right) + {f}{2}\left( x\right) = F\left( x\right) ,]
故 ( F\left( x\right) ) 为偶函数.
设 ( {g}{1}\left( x\right) ,{g}{2}\left( x\right) ) 均为奇函数,则 ( {g}{1}\left( {-x}\right) = - {g}{1}\left( x\right) ,{g}{2}\left( {-x}\right) = - {g}{2}\left( x\right) ) . 令 ( G\left( x\right) = {g}{1}\left( x\right) + {g}{2}\left( x\right) ) ,于是
[G\left( {-x}\right) = {g}{1}\left( {-x}\right) + {g}{2}\left( {-x}\right) = - {g}{1}\left( x\right) - {g}{2}\left( x\right) = - G\left( x\right) ,]
故 ( G\left( x\right) ) 为奇函数.
(2)设 ( {f}{1}\left( x\right) ,{f}{2}\left( x\right) ) 均为偶函数,则 ( {f}{1}\left( {-x}\right) = {f}{1}\left( x\right) ,{f}{2}\left( {-x}\right) = {f}{2}\left( x\right) ) . 令 ( F\left( x\right) = ) ( {f}{1}\left( x\right) \cdot {f}{2}\left( x\right) ) . 于是
[F\left( {-x}\right) = {f}{1}\left( {-x}\right) \cdot {f}{2}\left( {-x}\right) = {f}{1}\left( x\right) {f}{2}\left( x\right) = F\left( x\right) ,]
故 ( F\left( x\right) ) 为偶函数.
设 ( {g}{1}\left( x\right) ,{g}{2}\left( x\right) ) 均为奇函数,则 ( {g}{1}\left( {-x}\right) = - {g}{1}\left( x\right) ,{g}{2}\left( {-x}\right) = - {g}{2}\left( x\right) ) . 令 ( G\left( x\right) = {g}{1}\left( x\right) \cdot {g}{2}\left( x\right) ) . 于是
[G\left( {-x}\right) = {g}{1}\left( {-x}\right) \cdot {g}{2}\left( {-x}\right) = \left\lbrack {-{g}{1}\left( x\right) }\right\rbrack \left\lbrack {-{g}{2}\left( x\right) }\right\rbrack ]
[ = {g}{1}\left( x\right) \cdot {g}{2}\left( x\right) = G\left( x\right) ,]
故 ( G\left( x\right) ) 为偶函数.
设 ( f\left( x\right) ) 为偶函数, ( g\left( x\right) ) 为奇函数,则 ( f\left( {-x}\right) = f\left( x\right) ,g\left( {-x}\right) = - g\left( x\right) ) . 令 ( H\left( x\right) = )
( f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) ) ,于是
[H\left( {-x}\right) = f\left( {-x}\right) \cdot g\left( {-x}\right) = f\left( x\right) \left\lbrack {-g\left( x\right) }\right\rbrack ]
[ = - f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) = - H\left( x\right) ,]
故 ( H\left( x\right) ) 为奇函数.
- 下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非偶函数又非奇函数?
(1) ( y = {x}^{2}\left( {1 - {x}^{2}}\right) ) ; (2) ( y = 3{x}^{2} - {x}^{3} ) ;
(3) ( y = \frac{1 - {x}^{2}}{1 + {x}^{2}} ) ; (4) ( y = x\left( {x - 1}\right) \left( {x + 1}\right) ) ;
(5) ( y = \sin x - \cos x + 1 ) ; (6) ( y = \frac{{a}^{x} + {a}^{-x}}{2} ) .
解 (1) ( y = f\left( x\right) = {x}^{2}\left( {1 - {x}^{2}}\right) ) ,因为
[f\left( {-x}\right) = {\left( -x\right) }^{2}\left\lbrack {1 - {\left( -x\right) }^{2}}\right\rbrack = {x}^{2}\left( {1 - {x}^{2}}\right) = f\left( x\right) ,]
所以 ( f\left( x\right) ) 为偶函数.
(2) ( y = f\left( x\right) = 3{x}^{2} - {x}^{3} ) ,因为
[f\left( {-x}\right) = 3{\left( -x\right) }^{2} - {\left( -x\right) }^{3} = 3{x}^{2} + {x}^{3},]
[f\left( {-x}\right) \neq f\left( x\right) ,\;\text{ 且 }f\left( {-x}\right) \neq - f\left( x\right) ,]
所以 ( f\left( x\right) ) 既非偶函数又非奇函数.
(3) ( y = f\left( x\right) = \frac{1 - {x}^{2}}{1 + {x}^{2}} ) ,因为
[f\left( {-x}\right) = \frac{1 - {\left( -x\right) }^{2}}{1 + {\left( -x\right) }^{2}} = \frac{1 - {x}^{2}}{1 + {x}^{2}} = f\left( x\right) ,]
所以 ( f\left( x\right) ) 为偶函数.
(4) ( y = f\left( x\right) = x\left( {x - 1}\right) \left( {x + 1}\right) ) ,因为
[f\left( {-x}\right) = \left( {-x}\right) \left\lbrack {\left( {-x}\right) - 1}\right\rbrack \left\lbrack {\left( {-x}\right) + 1}\right\rbrack ]
[ = - x\left( {x + 1}\right) \left( {x - 1}\right) = - f\left( x\right) \text{,}]
所以 ( f\left( x\right) ) 为奇函数.
(5) ( y = f\left( x\right) = \sin x - \cos x + 1 ) ,因为
[f\left( {-x}\right) = \sin \left( {-x}\right) - \cos \left( {-x}\right) + 1 = - \sin x - \cos x + 1,]
[f\left( {-x}\right) \neq f\left( x\right) \text{且}f\left( {-x}\right) \neq - f\left( x\right) \text{,}]
所以 ( f\left( x\right) ) 既非偶函数又非奇函数.
(6) ( y = f\left( x\right) = \frac{{a}^{x} + {a}^{-x}}{2} ) ,因为 ( f\left( {-x}\right) = \frac{{a}^{-x} + {a}^{x}}{2} = f\left( x\right) ) ,所以 ( f\left( x\right) ) 为偶函数.
- 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数, 指出其周期:
(1) ( y = \cos \left( {x - 2}\right) ) ; (2) ( y = \cos {4x} ) ;
(3) ( y = 1 + \sin {\pi x} ) ; (4) ( y = x\cos x ) ;
(5) ( y = {\sin }^{2}x ) .
解 (1) 是周期函数,周期 ( l = {2\pi } ) .
(2)是周期函数,周期 ( l = \frac{\pi }{2} ) .
(3)是周期函数,周期 ( l = 2 ) .
(4)不是周期函数.
(5)是周期函数,周期 ( l = \pi ) .
- 求下列函数的反函数:
(1) ( y = \sqrt[3]{x + 1} ) ; (2) ( y = \frac{1 - x}{1 + x} ) ;
(3) ( y = \frac{{ax} + b}{{cx} + d}\left( {{ad} - {bc} \neq 0}\right) ) ; (4) ( y = 2\sin {3x}\left( {-\frac{\pi }{6} \leq x \leq \frac{\pi }{6}}\right) ) ;
(5) ( y = 1 + \ln \left( {x + 2}\right) ) ; (6) ( y = \frac{{2}^{x}}{{2}^{x} + 1} ) .
分析 函数 ( f ) 存在反函数的前提条件为: ( f : D \rightarrow f\left( D\right) ) 是单射. 本题中所给出的各函数易证均为单射,特别 ( \left( 1\right) \text{、}\left( 4\right) \text{、}\left( 5\right) \text{、}\left( 6\right) ) 中的函数均为单调函数,故都存在反函数.
解 (1) 由 ( y = \sqrt[3]{x + 1} ) 解得 ( x = {y}^{3} - 1 ) ,即反函数为 ( y = {x}^{3} - 1 ) .
(2)由 ( y = \frac{1 - x}{1 + x} ) 解得 ( x = \frac{1 - y}{1 + y} ) ,即反函数为 ( y = \frac{1 - x}{1 + x} ) .
(3)由 ( y = \frac{{ax} + b}{{cx} + d} ) 解得 ( x = \frac{-{dy} + b}{{cy} - a} ) ,即反函数为 ( y = \frac{-{dx} + b}{{cx} - a} ) .
(4)由 ( y = 2\sin {3x}\left( {-\frac{\pi }{6} \leq x \leq \frac{\pi }{6}}\right) ) 解得 ( x = \frac{1}{3}\arcsin \frac{y}{2} ) ,即反函数为 ( y = \frac{1}{3}\arcsin \frac{x}{2} ) .
(5)由 ( y = 1 + \ln \left( {x + 2}\right) ) 解得 ( x = {\mathrm{e}}^{y - 1} - 2 ) ,即反函数为 ( y = {\mathrm{e}}^{x - 1} - 2 ) .
( 6 )由 ( y = \frac{{2}^{x}}{{2}^{x} + 1} ) 解得 ( x = {\log }{2}\frac{y}{1 - y} ) ,即反函数为 ( y = {\log }{2}\frac{x}{1 - x} ) .
- 设函数 ( f\left( x\right) ) 在数集 ( X ) 上有定义,试证:函数 ( f\left( x\right) ) 在 ( X ) 上有界的充分必要条件是它在 ( X ) 上既有上界又有下界.
解 设 ( f\left( x\right) ) 在 ( X ) 上有界,即存在 ( M > 0 ) ,使得
[\left| {f\left( x\right) }\right| \leq M,\;x \in X,]
故
[ - M \leq f\left( x\right) \leq M,\;x \in X,]
即 ( f\left( x\right) ) 在 ( X ) 上有上界 ( M ) ,下界 ( - M ) .
反之,设 ( f\left( x\right) ) 在 ( X ) 上有上界 ( {K}{1} ) ,下界 ( {K}{2} ) ,即
[{K}{2} \leq f\left( x\right) \leq {K}{1},\;x \in X.]
取 ( M = \max \left{ {\left| {K}{1}\right| ,\left| {K}{2}\right| }\right} ) ,则有
[\left| {f\left( x\right) }\right| \leq M,\;x \in X,]
即 ( f\left( x\right) ) 在 ( X ) 上有界.
